Matrizes

Definição

      

      Matriz é um sistema numérico em formato de tabela m x n, com m linhas e n colunas, do qual é possível extrair um número determinante.

Tipos de Matrizes

Matriz retangular

      É toda matriz onde o número de linhas é diferente do número de colunas ou seja m ≠ n (m = linhas e n = colunas)

Exemplo : Matriz 2x3

                                                                                                                              

A =

Matriz quadrada

      É toda matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas ou seja n = m,   (m = linhas e n = colunas)

Exemplo : Matriz 3x3 

Diagonal principal

   É a matriz quadrada em que todos os elementos são iguais a zero exceto as coordenadas em que i = j, como por exemplo uma matriz quadrada 3x3 ,os elementos  em que (a11, a22, a33) formam a diagonal principal , ou seja , na matriz acima são  os números (2, 7, 1).

Diagonal secundária

     Matriz quadrada em que todos os elementos da matriz de ordem n são iguais a zero, exceto os elementos das coordenadas onde i + j = n + 1, como por exemplo numa matriz quadrada 3x3 os elementos em (a31, a22, a13) estão formam a diagonal secundária , ou seja , na matriz acima são os números (3 ,7 ,3 ).

As ordens das  matrizes quadradas são classificadas através do seu número de linhas e colunas , por exemplo uma Matriz 2x2  classifica ela como uma matriz de ordem 2 , uma Matriz 3x3 classifica ela como uma matriz de ordem 3 e assim sucessivamente , Matriz 4x4 ordem 4.

Matriz triangular

      Uma matriz triangular é basicamente aquela em que os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.

      Esta matriz abaixo é uma matriz triangular superior. O que define se a matriz  é triangular superior ou inferior é a posição dos elementos não nulos , aonde os elementos não nulos estão é aonde classifica se a matriz triangular  é superior ou inferior , no exemplo abaixo observamos que os números não nulos estão acima da diagonal principal , assim concluímos que a matriz é uma matriz triangular superior.

      Os números contornados da cor vermelha são os números situados acima da diagonal principal , e os números contornados da cor azul são os números situados abaixo da diagonal principal . 

      No exemplo a seguir  vemos que os números não nulos estão abaixo da diagonal principal , assim concluímos que a matriz é uma matriz triangular inferior . 

Obs : Uma Matriz triangular só é considerada triangular quando ela possui acima ou abaixo um conjunto de elementos nulos , destacando que não é triangular quando a matriz possui acima e abaixo elementos nulos . 

Matriz Escalar

      Será uma Matriz escalar , toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero e além do mais os  elementos da diagonal principal tem de ser todos iguais a uma mesma constante .

      A constante na matriz A é o número 4 e a constante na matriz B é o número 1.

Matriz identidade

É uma matriz quadrada(o número de linhas é igual ao número de colunas)onde possui todos os elementos da diagonal principal igual a 1, e os demais elementos igual a 0

Matriz inversa

      Uma matriz é denominada imersível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Representa-se A^-1 como sendo a inversa da matriz A. O produto de uma matriz A pela sua inversa A^-1 é igual à matriz identidade, de mesma ordem.

Exemplo:

Calcular, se houver, a inversa da matriz

      Para sabermos se a matriz A é inversível devemos calcular o determinante de A

    Como o determinante de A é diferente de zero, ela admite inversa.

temos a sua inversa:

Onde x,y,z e w são os elementos da matriz A^-1. Pelo método de inversão, A x A^-1=I_n,temos:

Multiplicando A por A^-1 obtemos:

      Como resultado obtemos duas matrizes iguais onde cada elemento se corresponde,formando dois sistemas lineares.

Resolvendo os sistemas

Obtendo os resultados temos a matriz inversa de A

Matriz transposta

      Dada uma matriz A de ordem m x n, a sua transposta,representada por  A^t será uma nova matriz A de ordem n x m. Essa ordem trocada indica que devemos trocar os elementos da linhas pelo das colunas e vice-versa.

Exemplo:

      Matriz simétrica: uma matriz é dita simétrica quando a sua transposta é igual a matriz original.

Exemplo:

Matriz igual

      Para que duas ou mais matrizes sejam consideradas iguais elas devem possuir:

    -    A mesma ordem(o mesmo número de linhas e colunas)

    -    Seus elementos correspondentes devem ser iguais.

      Para uma matriz A_2x2 ser igual a uma matriz B, a matriz B deve ser 2 x 2 e se os elementos a₁₁=b₁₁,a₂₁=b₂₁, a₁₂=b₁₂,a₂₂=b_22.

Exemplo 1:

Exemplo2: Determinar os valores de x e y para que a matriz A seja igual a matriz B, tendo:

Como as matrizes tem a mesma ordem,2 x 2, seus elementos correspondentes devem ser iguais.

Concluímos que x = -8 e y = 10.

http://seusaber.com.br/matematica/matrizes-tipos-adicao-subtracao-e-   multiplicacao.html#tipos_matrizes

http://www.alunosonline.com.br/matematica/matriz-triangular.html

http://wiki.ued.ipleiria.pt/wikiEngenharia/index.php/Matriz_Escalar

http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php

http://www.infoescola.com/matematica/matrizes/

http://www.infoescola.com/matematica/matriz-transposta/