Multiplicação nas matrizes

1. Multiplicação de matriz por escalar

A multiplicação de uma matriz por um escalar consiste na multiplicação de cada elemento da matriz pelo escalar.

kAmxn = Cmxn    =>    cij = k.aij

2. Produto escalar ou produto interno

O produto escalar de matrizes é apenas a multiplicação de matrizes linha/coluna

A multiplicação escalar gera um numero, devido a somatória das multiplicações que seguem a ordem dos elementos dispostos em cada matriz.

3. Multiplicações entre matrizes

A multiplicação entre matrizes possui apenas um pré-requisito, que o número de colunas da primeira matriz coincida com o número de linhas da segunda matriz.

Consiste em vários produtos escalares (linha . coluna) dispostos nas coordenadas da matriz C seguindo a linha e a coluna envolvidas de acordo com as matrizes A e B, ou seja, a linha utilizada pela matriz A e a coluna da matriz B definem a linha e coluna que o produto escalar se encontrará na matriz C.

Que pode ser exemplificado de maneira um pouco mais específica:

De maneira bem específica:   

 a2j.bj3 = c23    =>    c23 = ∑aj.bj

4. "Divisão" de matrizes

Assim como a subtração não existe, mas a inversão de sinais dos elementos de uma das matrizes envolvidas. A Divisão portanto, não existe nas matrizes e sim uma matriz que seja capaz de fazer o que a divisão faria dentro de uma multiplicação, ou seja, uma matriz B capaz de "anular" a matriz A como quando dividimos um número por ele mesmo, tornando-o 1. Sendo assim, a matriz responsável por anular outra matriz em uma multiplicação é chamada de inversa.

A única forma de anular uma matriz dentro de uma multiplicação entre matrizes é utilizando a inversa e uma das propriedades da multiplicação.
Quando há uma multiplicação de matriz diferentes e multiplica-se uma outra matriz na equação temos o seguinte:

AB = C    =>    D(AB) = D(C)  ou  (AB)D = (C)D

Sendo assim, se multiplicarmos uma matriz D, a posição que ela assume na equação é igual nos dois lados da igualdade. No entanto, essa matriz D pode ser a inversa.
               
AB = C    => A^-1(AB) = A^-1C  ou  (AB)B^-1 = CB^-1

                => IB = A^-1C   ou   AI = CB^-1

                => B = A^-1C   ou   A = CB^-1

Portanto, a "divisão" de matrizes, consiste na multiplicação entre uma matriz e sua inversa, se for possível atender aos pré-requisitos de sua existência.
   
                 

Propriedades:

Para A, A' => Mmxn; B, B' => Mnxp; C => Mpxq, a => K

1.     (AB)C = A(BC)

2.      AIn = ImA = A

3.      A(B + B') = AB + AB'

4.     (A + A')B = AB + A'B

5.     a(AB) = (aA)B = A(aB)

6.     Se AB = 0 então (A = 0 ou B = 0) é falso.

7.     Se AB = AB' e A ≠ 0 então (B = B') é falso.

        Se AB = A'B e B ≠ 0 então (A = A') é falso.

8.     AB ≠ BA

9.     A^-1A  =  AA^-1  =  I

Referências

Kolman, B.; Hill, D. R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8ed. São Paulo:LTC, 2013. 684p.

Filho, A. J. S. Aplicações e resoluções de problemas como metodologia para o ensino de Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes. 2013. 84f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Instituto de Matemática, Universidade Federal do Piauí, Teresina. 2013