Origem das matrizes

    As matrizes como conhecemos hoje vem sendo usadas desde o século XIX, mas para contar sua história, devemos remontar às origens dos sistemas lineares.

    Assunto recorrente quando se busca pela matemática usada pelos povos do oriente na antiguidade, os sistemas lineares eram especialmente usados pelos chineses para contabilidade através de diagramas escritos em pedaços de bambu. As equações eram dispostas inclusive de forma semelhante à estrutura das matrizes, e a resolução usava de um método simplificado de eliminação de coeficientes. Os métodos são citados no manuscrito “Nove capítulos sobre a arte da matemática”, datado entre os séculos III e II a.C..

    Mais tarde, no século XVII d.C., a ideia de um determinante como resultado de sistemas lineares apareceu quase que simultaneamente no Japão e na Europa, pelas mãos, separadamente, de Kowa e Leibniz. Kowa sistematizou o antigo método linear chinês no formato de tabela, mas ainda era um tanto limitado. Já Leibniz criou um arranjo semelhante ao de Kowa, com os coeficientes e termos independentes de até 3 equações e conseguiu extrair um determinante compatível dessas notações, usando um método parecido com o que um dia seria o de método de Sarrus.

GOTTFRIED LEIBNIZ

SEKI KOWA

    Já no século XVIII, Gabriel Cramer aperfeiçoou a técnica de extração do determinante. Seria possível então, achar o determinante de sistemas lineares de mais equações de maneira mais sucinta, com a condição de que o número de equações fosse igual ao número de incógnitas. A regra de Cramer consiste em achar o determinante a partir do cálculo dos determinantes após da substituição dos termos independentes de cada “coluna”. 

GABRIEL CRAMER

    Pierre Laplace, também no século XVIII, publica seu teorema para o cálculo dos determinantes. Seu procedimento se dá pelo uso de cofatores multiplicados pelos respectivos coeficientes de uma mesma coluna. A soma dessas multiplicações resulta no determinante.

PIERRE LAPLACE

    Ainda no mesmo século, Carl Gauss propôs o método do escalonamento, que consiste na redução máxima da matriz (que ainda não era chamada assim, ainda era vista como uma espécie de tabela formada pelos termos de sistemas lineares) até se achar a matriz identidade.

CARL GAUSS    

    Em 1812, Augustin Cauchy deu o sentido atual do que é um determinante, demonstrando através de multiplicações a comprovação de seu teorema.

    Mas o grande passo para que as tabelas e sistemas lineares se tornassem as matrizes que conhecemos hoje aconteceu pelas mãos de Athur Cayley, que além de reescrever as equações no formato como conhecemos hoje, deu nome às matrizes e introduziu os conceitos de soma, multiplicação entre matrizes e de matrizes por escalares.

ARTHUR CAYLEY

Referências:

KILHIAN, KLEBER. Cayley e a Teoria das Matrizes. Disponível em: <http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/11/cayley-e-teoria-das-matrizes.html> em 12/05/2015

KILHIAN, KLEBER. Sistemas Lineares e Determinantes: Origem e Desenvolvimento. Disponível em: <http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/11/sistemas-lineares-e-determinantes.html> em 12/05/2015

DOMINGUES, HYGINO. Surgimento dos Sistemas Lineares e Determinantes. Disponível em : <http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas.php> em 12/05/2015

Matrizes

Definição

      

      Matriz é um sistema numérico em formato de tabela m x n, com m linhas e n colunas, do qual é possível extrair um número determinante.

Tipos de Matrizes

Matriz retangular

      É toda matriz onde o número de linhas é diferente do número de colunas ou seja m ≠ n (m = linhas e n = colunas)

Exemplo : Matriz 2x3

                                                                                                                              

A =

Matriz quadrada

      É toda matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas ou seja n = m,   (m = linhas e n = colunas)

Exemplo : Matriz 3x3 

Diagonal principal

   É a matriz quadrada em que todos os elementos são iguais a zero exceto as coordenadas em que i = j, como por exemplo uma matriz quadrada 3x3 ,os elementos  em que (a11, a22, a33) formam a diagonal principal , ou seja , na matriz acima são  os números (2, 7, 1).

Diagonal secundária

     Matriz quadrada em que todos os elementos da matriz de ordem n são iguais a zero, exceto os elementos das coordenadas onde i + j = n + 1, como por exemplo numa matriz quadrada 3x3 os elementos em (a31, a22, a13) estão formam a diagonal secundária , ou seja , na matriz acima são os números (3 ,7 ,3 ).

As ordens das  matrizes quadradas são classificadas através do seu número de linhas e colunas , por exemplo uma Matriz 2x2  classifica ela como uma matriz de ordem 2 , uma Matriz 3x3 classifica ela como uma matriz de ordem 3 e assim sucessivamente , Matriz 4x4 ordem 4.

Matriz triangular

      Uma matriz triangular é basicamente aquela em que os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.

      Esta matriz abaixo é uma matriz triangular superior. O que define se a matriz  é triangular superior ou inferior é a posição dos elementos não nulos , aonde os elementos não nulos estão é aonde classifica se a matriz triangular  é superior ou inferior , no exemplo abaixo observamos que os números não nulos estão acima da diagonal principal , assim concluímos que a matriz é uma matriz triangular superior.

      Os números contornados da cor vermelha são os números situados acima da diagonal principal , e os números contornados da cor azul são os números situados abaixo da diagonal principal . 

      No exemplo a seguir  vemos que os números não nulos estão abaixo da diagonal principal , assim concluímos que a matriz é uma matriz triangular inferior . 

Obs : Uma Matriz triangular só é considerada triangular quando ela possui acima ou abaixo um conjunto de elementos nulos , destacando que não é triangular quando a matriz possui acima e abaixo elementos nulos . 

Matriz Escalar

      Será uma Matriz escalar , toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero e além do mais os  elementos da diagonal principal tem de ser todos iguais a uma mesma constante .

      A constante na matriz A é o número 4 e a constante na matriz B é o número 1.

Matriz identidade

É uma matriz quadrada(o número de linhas é igual ao número de colunas)onde possui todos os elementos da diagonal principal igual a 1, e os demais elementos igual a 0

Matriz inversa

      Uma matriz é denominada imersível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Representa-se A^-1 como sendo a inversa da matriz A. O produto de uma matriz A pela sua inversa A^-1 é igual à matriz identidade, de mesma ordem.

Exemplo:

Calcular, se houver, a inversa da matriz

      Para sabermos se a matriz A é inversível devemos calcular o determinante de A

    Como o determinante de A é diferente de zero, ela admite inversa.

temos a sua inversa:

Onde x,y,z e w são os elementos da matriz A^-1. Pelo método de inversão, A x A^-1=I_n,temos:

Multiplicando A por A^-1 obtemos:

      Como resultado obtemos duas matrizes iguais onde cada elemento se corresponde,formando dois sistemas lineares.

Resolvendo os sistemas

Obtendo os resultados temos a matriz inversa de A

Matriz transposta

      Dada uma matriz A de ordem m x n, a sua transposta,representada por  A^t será uma nova matriz A de ordem n x m. Essa ordem trocada indica que devemos trocar os elementos da linhas pelo das colunas e vice-versa.

Exemplo:

      Matriz simétrica: uma matriz é dita simétrica quando a sua transposta é igual a matriz original.

Exemplo:

Matriz igual

      Para que duas ou mais matrizes sejam consideradas iguais elas devem possuir:

    -    A mesma ordem(o mesmo número de linhas e colunas)

    -    Seus elementos correspondentes devem ser iguais.

      Para uma matriz A_2x2 ser igual a uma matriz B, a matriz B deve ser 2 x 2 e se os elementos a₁₁=b₁₁,a₂₁=b₂₁, a₁₂=b₁₂,a₂₂=b_22.

Exemplo 1:

Exemplo2: Determinar os valores de x e y para que a matriz A seja igual a matriz B, tendo:

Como as matrizes tem a mesma ordem,2 x 2, seus elementos correspondentes devem ser iguais.

Concluímos que x = -8 e y = 10.

http://seusaber.com.br/matematica/matrizes-tipos-adicao-subtracao-e-   multiplicacao.html#tipos_matrizes

http://www.alunosonline.com.br/matematica/matriz-triangular.html

http://wiki.ued.ipleiria.pt/wikiEngenharia/index.php/Matriz_Escalar

http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php

http://www.infoescola.com/matematica/matrizes/

http://www.infoescola.com/matematica/matriz-transposta/

Adição e Subtração de matrizes

Definição

      Se A=[aij] e B=[bij] são matrizes m x n, então a soma de A e B é a matriz C=[cij], m x n definida por 

      Ou seja, uma adição entre matrizes ocorre apenas quando o tamanho delas coincide, gerando uma terceira matriz do mesmo tamanho.

A3x2 + B3x2 = C3x2

      Quanto aos valores contidos na matriz Cmxn, cij é apenas a somatória dos seus correspondentes nas matrizes Amxn e Bmxn, portanto, aij e bij. Visto que "ij" correspondem a uma coordenada dentro da matriz, a somatória acontece entre os elementos de mesma coordenadas gerando um terceiro elemento na mesma coordenada.

		1		7	2				3		5	8				4		12	10
		3		4	3		+		5		6	1		=		8		10	4
		4		1	1				1		8	2				5		9	3

a11 + b11 = c11      =>      1 + 3 = 4

a31 + b31 = c31      =>      4 + 1 = 5

As regras são as mesmas para a subtração, já que é apenas uma adição disfarçada. A subtração baseia-se na somatória de duas matrizes, no entanto, uma delas sofre a inversão de sinal dos seus valores, que podemos representar da seguinte forma:

Amxn + (-1).Bmxn = Cmxn                  aij + (-1).bij = cij

		1		7	2					3		5	8				-2		2	-6
		3		4	3		+	(-1)		5		6	1		=		-2		-2	2
		4		1	1					1		8	2				3		-7	-1

a11 + (-1).b11 = c11      =>      1 + (-1).3 = -2

a31 + (-1).b31 = c31      =>      4 + (-1).1 = 3

Propriedades da adição/subtração de matrizes

-    Para A, B, C  => Mmxn(K)  e  a, b => K tem-se:

1.    (A + B) + C = A + (B + C)                 (Associatividade)

2.     A + B = B + A                                  (Comutatividade)

3.     A + 0 = 0 + A = A               (0 é um elemento neutro)

4.     A + (-A) = (-A) + A = 0            (-A é a simétrica de A)

5.    a(A + B) = aA + aB

6.    (ab)A = a(bA)

7.    1A = A

Kolman, B.; Hill, D. R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8ed. São Paulo:LTC, 2013. 684p.

Filho, A. J. S. Aplicações e resoluções de problemas como metodologia para o ensino de Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes. 2013. 84f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Instituto de Matemática, Universidade Federal do Piauí, Teresina. 2013

Multiplicação nas matrizes

1. Multiplicação de matriz por escalar

A multiplicação de uma matriz por um escalar consiste na multiplicação de cada elemento da matriz pelo escalar.

kAmxn = Cmxn    =>    cij = k.aij

2. Produto escalar ou produto interno

O produto escalar de matrizes é apenas a multiplicação de matrizes linha/coluna

A multiplicação escalar gera um numero, devido a somatória das multiplicações que seguem a ordem dos elementos dispostos em cada matriz.

3. Multiplicações entre matrizes

A multiplicação entre matrizes possui apenas um pré-requisito, que o número de colunas da primeira matriz coincida com o número de linhas da segunda matriz.

Consiste em vários produtos escalares (linha . coluna) dispostos nas coordenadas da matriz C seguindo a linha e a coluna envolvidas de acordo com as matrizes A e B, ou seja, a linha utilizada pela matriz A e a coluna da matriz B definem a linha e coluna que o produto escalar se encontrará na matriz C.

Que pode ser exemplificado de maneira um pouco mais específica:

De maneira bem específica:   

 a2j.bj3 = c23    =>    c23 = ∑aj.bj

4. "Divisão" de matrizes

Assim como a subtração não existe, mas a inversão de sinais dos elementos de uma das matrizes envolvidas. A Divisão portanto, não existe nas matrizes e sim uma matriz que seja capaz de fazer o que a divisão faria dentro de uma multiplicação, ou seja, uma matriz B capaz de "anular" a matriz A como quando dividimos um número por ele mesmo, tornando-o 1. Sendo assim, a matriz responsável por anular outra matriz em uma multiplicação é chamada de inversa.

A única forma de anular uma matriz dentro de uma multiplicação entre matrizes é utilizando a inversa e uma das propriedades da multiplicação.
Quando há uma multiplicação de matriz diferentes e multiplica-se uma outra matriz na equação temos o seguinte:

AB = C    =>    D(AB) = D(C)  ou  (AB)D = (C)D

Sendo assim, se multiplicarmos uma matriz D, a posição que ela assume na equação é igual nos dois lados da igualdade. No entanto, essa matriz D pode ser a inversa.
               
AB = C    => A^-1(AB) = A^-1C  ou  (AB)B^-1 = CB^-1

                => IB = A^-1C   ou   AI = CB^-1

                => B = A^-1C   ou   A = CB^-1

Portanto, a "divisão" de matrizes, consiste na multiplicação entre uma matriz e sua inversa, se for possível atender aos pré-requisitos de sua existência.
   
                 

Propriedades:

Para A, A' => Mmxn; B, B' => Mnxp; C => Mpxq, a => K

1.     (AB)C = A(BC)

2.      AIn = ImA = A

3.      A(B + B') = AB + AB'

4.     (A + A')B = AB + A'B

5.     a(AB) = (aA)B = A(aB)

6.     Se AB = 0 então (A = 0 ou B = 0) é falso.

7.     Se AB = AB' e A ≠ 0 então (B = B') é falso.

        Se AB = A'B e B ≠ 0 então (A = A') é falso.

8.     AB ≠ BA

9.     A^-1A  =  AA^-1  =  I

Referências

Kolman, B.; Hill, D. R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8ed. São Paulo:LTC, 2013. 684p.

Filho, A. J. S. Aplicações e resoluções de problemas como metodologia para o ensino de Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes. 2013. 84f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Instituto de Matemática, Universidade Federal do Piauí, Teresina. 2013